ত্রৈধ বিন্দু (Three-Dimensional Point) এবং উর্ধ্বপাদন (Scalar Product বা Dot Product) এর সম্পর্ক বোঝানোর জন্য, আমরা গাণিতিক ধারণাগুলি এবং ভেক্টর অ্যালজেব্রার সাহায্য নেব।
১. ত্রৈধ বিন্দু (3D Point):
ত্রৈধ বিন্দু এমন একটি বিন্দু যা ত্রিমাত্রিক স্থান (3D Space) এ অবস্থান প্রকাশ করে, যেমন একটি বিন্দু , যেখানে , , এবং হলো বিন্দুর অক্ষীয় স্থানাঙ্ক।
২. উর্ধ্বপাদন (Dot Product বা Scalar Product):
দুইটি ভেক্টরের উর্ধ্বপাদন (dot product) হল একটি গাণিতিক অপারেশন যা দুইটি ভেক্টরের মধ্যে সম্পর্ক নির্ধারণ করে এবং একটি স্কেলার (scalar) মান প্রদান করে।
ধরা যাক, দুইটি ভেক্টর এবং ।
তাহলে, তাদের উর্ধ্বপাদন হবে:
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z
এটি একটি স্কেলার মান দেয় এবং এর গাণিতিক অর্থ হল, দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ নির্ধারণ করা এবং তাদের দৈর্ঘ্যের গুণফল বের করা।
৩. ত্রৈধ বিন্দু ও উর্ধ্বপাদনের সম্পর্ক:
ত্রৈধ বিন্দু এর সাথে উর্ধ্বপাদনের সম্পর্কটি বোঝানোর জন্য, আপনাকে দুইটি ভেক্টর এবং এর সাহায্যে উর্ধ্বপাদন ব্যবহার করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি বিন্দু হয়, তাহলে (যেখানে হলো অরিজিন, অর্থাৎ ) ভেক্টরটির উর্ধ্বপাদন অন্য একটি ভেক্টর এর সাথে করা হতে পারে।
এভাবে, যদি এবং হয়, তাহলে তাদের উর্ধ্বপাদন হবে:
\overrightarrow{OP} \cdot \mathbf{A} = x A_x + y A_y + z A_z
এটি আপনাকে দুটি ভেক্টরের মধ্যে সম্পর্ক এবং তাদের পরস্পরের সাথে কোণের (angle) সম্পর্ক জানাতে সাহায্য করে।
